MATLAB 向量和矩阵一：向量
🧮 MATLAB 向量和矩阵：向量
向量和矩阵是 MATLAB 的核心数据结构。MATLAB 之名源自 “矩阵实验室”（Matrix Laboratory），所有数值数据本质上都可视为矩阵——标量是 1×1 矩阵，向量是 1×n 或 n×1 矩阵。这种统一的设计使得线性代数、数值计算、信号处理等领域的表达极为简洁高效。向量与矩阵运算是 MATLAB 强大计算能力的基石，掌握它们是精通 MATLAB 的第一步。
📑 目录
本文内容导航（可快速了解文章结构）：
- 📐 向量 —— 行向量与列向量的创建方式
- ➡️ 行向量
- ⬇️ 列向量
- 🏗️ 向量的生成方式
- 🔍 引用向量的元素 —— 索引、冒号运算符与切片
- 🔢 索引访问
- 📚 多元素引用
- 🔄 反向索引
- ⚡ 向量运算 —— 加减、数乘、转置、点乘
- ➕ 基础算术运算
- ⚠️ 向量运算的注意事项
- 🔢 向量运算的优先级
- 📊 向量的常用函数 ——
length、sum、mean等 - 🔍 向量的逻辑运算 —— 关系运算、
any、all等 - ⚡ 向量化编程思想 —— 向量化代替循环提升效率
- 💾 向量的内存与性能 —— 预分配内存与动态增长对比
📐 向量
向量是一维数字数组。MATLAB 允许创建两种类型的向量：
| 类型 | 说明 | 创建方式 |
|---|---|---|
| 行向量 | 水平排列的元素序列 | 使用空格或逗号分隔元素 |
| 列向量 | 垂直排列的元素序列 | 使用分号分隔元素或通过转置得到 |
➡️ 行向量
将元素放在方括号 [] 中，用空格或逗号分隔即可创建行向量。
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a = [1 2 3 4]
b = [1, 2, 3, 4]
c = a + b
💻 运行结果
>> a = [1 2 3 4] a = 1 2 3 4 >> b = [1, 2, 3, 4] b = 1 2 3 4 >> c = a + b c = 2 4 6 8
⬇️ 列向量
通过将元素集括在方括号中并使用分号（;）分隔元素来创建，或使用转置。
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a = [1; 2; 3; 4] %使用分号分隔元素
b = [1 2 3 4]' %使用转置
a + b
💻 运行结果
>> a = [1; 2; 3; 4] a = 1 2 3 4 >> b = [1 2 3 4]' b = 1 2 3 4 >> a + b ans = 2 4 6 8
🏗️ 向量的生成方式
除了手动输入，MATLAB 还提供了多种便捷的向量生成方法：
| 方式 | 说明 | 示例 |
|---|---|---|
start:step:end | 冒号运算符生成等差数列 | 1:2:10 |
linspace | 线性等分向量 | linspace(0, 1, 5) |
logspace | 对数等分向量 | logspace(0, 2, 5) |
zeros | 全零向量 | zeros(1, 5) |
ones | 全1向量 | ones(1, 5) |
rand | 均匀分布随机向量 | rand(1, 5) |
randn | 正态分布随机向量 | randn(1, 5) |
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a = 1:2:10 % 从1到10，步长为2
b = linspace(0, 1, 5) % 在[0,1]区间生成5个等分点
c = logspace(0, 2, 5) % 在[10^0, 10^2]区间生成5个对数等分点
d = zeros(1, 5) % 全零行向量
e = ones(1, 5) % 全1行向量
f = rand(1, 5) % 5个[0,1]均匀随机数
g = randn(1, 5) % 5个正态分布的随机数
💻 运行结果
>> a = 1:2:10 a = 1 3 5 7 9 >> b = linspace(0, 1, 5) b = 0 0.2500 0.5000 0.7500 1.0000 >> c = logspace(0, 2, 5) c = 1.0000 3.1623 10.0000 31.6228 100.0000 >> d = zeros(1, 5) d = 0 0 0 0 0 >> e = ones(1, 5) e = 1 1 1 1 1 >> f = rand(1, 5) f = 0.8147 0.9058 0.1270 0.9134 0.6324 >> g = randn(1, 5) g = -0.2245 0.1822 0.3216 -0.4321 0.5432
🔍 引用向量的元素
🔢 索引访问
向量的元素可以通过索引访问。索引从 1 开始，与数组的索引相同。格式为 向量名(索引)。需要注意的是，索引必须是整数，不能是浮点数。如果索引超出向量的范围，matlab 则会报错。
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a = [1 2 3 4];
a(3) % 第3个元素
a(4) % 第4个元素
a(5) % 第5个元素，超出范围，报错
💻 运行结果
>> a = [1 2 3 4]; >> a(3) ans = 3 >> a(4) ans = 4 >> a(5) 索引超过数组元素的数量。索引不能超过 4
📚 多元素引用
引用多个元素，返回的是一个向量，使用冒号运算符 : 来指定元素的范围。引用所有元素时，可以省略索引范围。如果需要跳跃引用元素，可以在冒号运算符后添加步长参数，默认步长为1。
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v = [1; 2; 3; 4; 5; 6];
v(:) % 所有元素
rv = [1 2 3 4 5 6 7 8 9];
sub_rv = rv(3:7) % 第3到第7个元素
sub_rv = rv(3:2:7) % 第3,5,7个元素，步长为2，跳过第4个和第6个元素
💻 运行结果
>> v = [1; 2; 3; 4; 5; 6]; >> v(:) ans = 1 2 3 4 5 6 >> rv = [1 2 3 4 5 6 7 8 9]; >> sub_rv = rv(3:7) sub_rv = 3 4 5 6 7 >> sub_rv = rv(3:2:7) sub_rv = 3 5 7
🔄 反向索引
向量的访问还可以使用反向索引。例如，v(end) 表示最后一个元素，v(end-1) 表示倒数第二个元素，以此类推。或者使用负数索引，例如 v(-1) 表示最后一个元素，v(-2) 表示倒数第二个元素，以此类推。
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v = [1; 2; 3; 4; 5; 6];
v(end) % 最后一个元素
v(end-1) % 倒数第二个元素
v(-1) % 最后一个元素
v(-2) % 倒数第二个元素
v(-3) % 倒数第三个元素
💻 运行结果
⚡ 向量运算
➕ 基础算术运算
MATLAB 提供了丰富的向量运算操作，涵盖了从基础算术到线性代数的各种运算：
| 运算类型 | 运算符/函数 | 说明 | 示例 |
|---|---|---|---|
| 加法 | + | 对应元素相加 | a + b |
| 减法 | - | 对应元素相减 | a - b |
| 数乘 | .* | 向量与标量相乘 | 3 .* a |
| 共轭转置 | ' | 行变列，复数取共轭 | C' |
| 非共轭转置 | .' | 行变列，复数不变 | C.' |
| 水平拼接 | [,] | 将两个向量水平连接 | [a, b] |
| 垂直拼接 | [;] | 将两个向量垂直连接 | [a; b] |
| 点乘（内积） | * 或 dot | 返回标量：a·b = Σaᵢbᵢ | a * b' 或 dot(a, b) |
| 叉乘（外积） | cross | 返回向量：三维向量的叉积 | cross(a, b) |
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clear; clc;
a = [1 2 3 4]; b = [4 5 6 7]; C = [4+1i 5 6 7];
a + b % 两个向量相加
a - b % 两个向量相减
3 .* a % 向量的数乘
C' % 向量的共轭转置
C.' % 向量的非共轭转置
[a, b] % 向量的横追加
[a; b] % 向量的纵追加
a * b' % 向量的点乘
dot(a, b) % 向量的点乘
cross(a(1:3), b(1:3)) % 三维向量的叉乘
💻 运行结果
>> a = [1 2 3 4]; b = [4 5 6 7]; C = [4+1i 5 6 7]; >> a + b ans = 5 7 9 11 >> a - b ans = -3 -3 -3 -3 >> 3 .* a ans = 3 6 9 12 >> C' ans = 4.0000 - 1.0000i 5.0000 + 0.0000i 6.0000 + 0.0000i 7.0000 + 0.0000i >> C.' ans = 4 5 6 7 >> [a, b] ans = 1 2 3 4 4 5 6 7 >> [a; b] ans = 1 2 3 4 4 5 6 7 >> a * b' ans = 60 >> dot(a, b) ans = 60 >> cross(a(1:3), b(1:3)) ans = -3 6 -3
⚠️ 向量运算的注意事项
在使用 MATLAB 进行向量运算时，有几个容易混淆的细节需要特别注意：
| 注意事项 | 说明 | 正确做法 |
|---|---|---|
| 点乘 vs 矩阵乘法 | a * b 是矩阵乘法，要求维度匹配；a .* b 才是元素级乘法 | 向量点积用 a * b' 或 dot(a, b) |
| 转置运算符 | ' 是共轭转置，.' 是非共轭转置 | 实数向量两者等价，复数向量需区分 |
| 数乘运算符 | 标量与向量相乘推荐使用 .*，但 * 也可用 | 3 * a 和 3 .* a 结果相同 |
| 维度一致性 | 加减运算要求两个向量维度完全相同，特别的行向量与列向量相加得到的一个矩阵 | 不同维度需先转置或使用广播机制 |
| 叉乘限制 | cross 仅适用于三维向量 | 二维向量需补零为三维，或使用 det |
| 向量拼接 | 水平拼接 [a, b] 要求行数相同；垂直拼接 [a; b] 要求列数相同 | 拼接前用 size 检查维度是否匹配 |
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% ❌ 常见错误示例
a = [1 2 3]; b = [4; 5; 6];
% a + b % 错误！行向量与列向量维度不匹配
% ❌ 向量拼接维度不匹配
x = [1 2 3]; y = [4 5 6 7];
% [x; y] % 错误！列数不同，无法垂直拼接
% ✅ 正确做法
a = [1 2 3]; b = [4 5 6];
a + b % 两个行向量相加
a .* b % 元素级乘法
a * b' % 向量点积（内积）
% ✅ 拼接前检查维度
size(x) % 查看维度
size(y) % 查看维度
[x, y] % 水平拼接：列数可以不同，行数需相同
% 复数转置的区分
c = [1+2i, 3+4i];
c' % 共轭转置：元素取共轭
c.' % 非共轭转置：仅转置，不取共轭
💻 运行结果
>> a = [1 2 3]; b = [4 5 6]; >> a + b ans = 5 7 9 >> a .* b ans = 4 10 18 >> a * b' ans = 32 [x, y] ans = 1 2 3 4 5 6 7 >> c = [1+2i, 3+4i]; >> c' ans = 1.0000 - 2.0000i 3.0000 - 4.0000i >> c.' ans = 1.0000 + 2.0000i 3.0000 + 4.0000i
🔢 向量运算的优先级
MATLAB 中向量运算的优先级与常规数学运算一致，但有几个特殊规则需要牢记：
| 优先级 | 运算符 | 说明 |
|---|---|---|
| 最高 | () | 圆括号，最优先计算 |
| 高 | ' .' | 转置运算符 |
| 中高 | ^ .^ | 幂运算 |
| 中 | * .* / ./ \ .\ | 乘除运算 |
| 低 | + - | 加减运算 |
| 最低 | : | 冒号运算符 |
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% 优先级示例
a = [1 2 3]; b = [4 5 6];
% 转置优先级高于算术运算
a + b' % 先转置 b，再相加（行向量 + 列向量 → 矩阵）广播模式
(a + b)' % 先相加，再转置
% 幂运算优先级高于乘除
2 * a.^2 % 先计算 a.^2，再乘以 2
(2 * a).^2 % 先乘以 2，再平方
% 冒号运算符优先级最低
1:3 + 2 % 先计算 3+2=5，再生成 1:5 → [1 2 3 4 5]
(1:3) + 2 % 先生成 1:3，再加 2 → [3 4 5]
💻 运行结果
>> a = [1 2 3]; b = [4 5 6]; >> a + b' ans = 5 6 7 6 7 8 7 8 9 >> (a + b)' ans = 5 7 9 >> 2 * a.^2 ans = 2 8 18 >> (2 * a).^2 ans = 4 16 36 >> 1:3 + 2 ans = 1 2 3 4 5 >> (1:3) + 2 ans = 3 4 5
💡 提示：当不确定优先级时，使用圆括号
()明确指定计算顺序，既避免错误，也提高代码可读性。
📊 向量的常用函数
MATLAB 提供了丰富的函数来获取向量的属性和进行统计分析：
| 函数 | 说明 | 示例 |
|---|---|---|
length | 向量的长度（最大维度大小） | length(v) |
numel | 元素总数 | numel(v) |
size | 向量的维度尺寸 | size(v) |
isvector | 判断是否为向量 | isvector(v) |
sort | 向量排序（升序/降序） | sort(v) |
unique | 去重并排序 | unique(v) |
sum | 所有元素之和 | sum(v) |
mean | 所有元素的平均值 | mean(v) |
max | 最大值 | max(v) |
min | 最小值 | min(v) |
std | 标准差 | std(v) |
var | 方差 | var(v) |
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v = [3 1 4 1 5 9 2 6];
length(v) % 向量的长度
numel(v) % 元素总数
isvector(v) % 判断是否为向量
sort(v) % 升序排序
unique([1 2 1 3 2 4]) % 去重
sum(v) % 求和
mean(v) % 平均值
max(v) % 最大值
min(v) % 最小值
💻 运行结果
>> v = [3 1 4 1 5 9 2 6]; >> length(v) ans = 8 >> numel(v) ans = 8 >> isvector(v) ans = logical 1 >> sort(v) ans = 1 1 2 3 4 5 6 9 >> unique([1 2 1 3 2 4]) ans = 1 2 3 4 >> sum(v) ans = 31 >> mean(v) ans = 3.875 >> max(v) ans = 9 >> min(v) ans = 1
🔍 向量的逻辑运算
MATLAB 支持对向量进行关系运算和逻辑判断，返回逻辑数组：
| 运算/函数 | 说明 | 示例 |
|---|---|---|
>、<、>=、<= | 关系比较 | a > 3 |
==、~= | 等于、不等于 | a == b |
&、\|、~ | 逻辑与、或、非 | (a > 2) & (a < 5) |
any | 是否存在任意元素满足条件 | any(a > 3) |
all | 是否所有元素都满足条件 | all(a > 0) |
isnan | 判断是否为 NaN | isnan(v) |
isinf | 判断是否为无穷大 | isinf(v) |
isfinite | 判断是否为有限值 | isfinite(v) |
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a = [1 5 3 8 2 7 4];
a > 3 % 大于3
a == 3 % 等于3
(a > 2) & (a < 6) % 大于2且小于6
any(a > 7) % 是否存在大于7的元素
all(a > 0) % 是否所有元素都大于0
v = [1 NaN 3 Inf 5];
isnan(v) % 判断 NaN
isinf(v) % 判断 Inf
isfinite(v) % 判断有限值
💻 运行结果
⚡ 向量化编程思想
MATLAB 的一大优势就是向量化编程——利用向量和矩阵运算代替循环，大幅提升代码效率和可读性。
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% ❌ 使用循环（不推荐）
n = 1000000;
tic;
y = zeros(1, n);
for i = 1:n
y(i) = sin(i * pi / 180);
end
toc;
% ✅ 使用向量化（推荐）
tic;
x = 1:n;
y = sin(x * pi / 180);
toc;
💻 运行结果
💡 提示：向量化运算不仅代码更简洁，而且执行速度通常比循环快数倍甚至数十倍。这是因为 MATLAB 底层对矩阵运算进行了高度优化，且能充分利用 CPU 的并行能力。在编写 MATLAB 代码时，应优先考虑向量化的实现方式。
💾 向量的内存与性能
在处理大规模向量时，合理的内存管理可以显著提升性能：
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% ❌ 动态增长（不推荐，效率低）
n = 100000;
tic;
v = [];
for i = 1:n
v = [v, i]; % 每次循环都重新分配内存
end
toc;
% ✅ 预分配内存（推荐，效率高）
tic;
v = zeros(1, n); % 预先分配好内存空间
for i = 1:n
v(i) = i; % 直接赋值，无需重新分配
end
toc;
💻 运行结果
💡 提示：在 MATLAB 中，向量每次拼接
[v, new]都会重新分配内存并复制数据，导致性能急剧下降。预先使用zeros或ones分配好内存空间，再通过索引赋值，可以提升数百倍的性能。
本文由作者按照 CC BY 4.0 进行授权