数学建模第二课：如何写数学建模论文
如何写数学建模论文
优秀数学建模论文四要素 假设的合理性,建模的创造性,结果的合理性,表述的清晰程度
数学建模的论文的结构
数学建模论文通常包含以下几个标准部分。在实际写作中，各个部分可分可合，也可交叉穿插，并无绝对死板的统一格式：
0. 摘要（核心门面）
1. 问题重述
2. 问题分析
3. 模型假设
4. 符号说明
5. 建立模型与求解
6. 模型的验证
7. 模型评价与改进
8. 参考文献
9. 附录
如何写好摘要
摘要是一篇文章的入口，一份出色的摘要，往往能让你的论文在众多作品中脱颖而出。
摘要一般要求在一页内完成。核心内容应涵盖：运用了什么数学方法建模、解决了什么实际问题、得出了什么结论。务必突出方法、算法、结论、创新点与特色，切忌废话连篇。
📑 摘要拆解与结构批注
📜 2025高教社被优秀论文摘要文本： 本文通过研究红外干涉法测外延层厚度问题，提出了一种基于牛顿迭代反演反射率模型参数、同基于波谷周期关系进行数值计算厚度交叉印证的解决路径。
…..
对于问题二，在基于折射率和反射强度公式建立的模型上，设计了两个求解路线（1）周期波谷直接计算法：通过反射率表达式给出的理论震荡周期和厚度 d 的关系建立 d 的显式表达式，在附件 1、2 测得的反射率曲线上通过样条插值取出准确极值点坐标值，计算多组厚度 d 并用统计方法给出最终厚度计算值为 7.544μm（2）牛顿迭代反演法：以已经建立的反射率表达式 $R_d$ 作为依赖厚度 d 参数曲线，通过用牛顿迭代拟合 $R_d$ 与实验测得的反射率曲线，给出厚度 d 的迭代解为；7.295μm 作为直接计算值 7.544μm 的较好印证值
…..
摘要的第一段
第一段：写论文解决什么问题（2句话不超过3行）切入问题：先由问题或问题的重点词开始，简单重述问题、以及解决该问题的意义；总的解决方法概述：通过什么方法解决什么问题；实际问题转化为数学模型。
🔍 结构一：切入问题
🎯 结构要求：先由问题或问题的重点词开始，简单重述问题、以及解决该问题的意义。
- 📝 原文精准批注：
本文通过研究
【红外干涉法测外延层厚度问题】， - 💡 结构解析： 开门见山，没有任何铺垫，直接利用专业术语切入核心痛点，明确指出了本文致力于研究并解决的具体工程物理问题。
📐 结构二：实际问题转化为数学模型
🎯 结构要求：说明具体使用了什么数学方法或模型来量化、拆解实际问题。
- 📝 原文精准批注：
……基于
【牛顿迭代反演反射率模型参数】、同基于【波谷周期关系进行数值计算厚度】…… - 💡 结构解析： 将“测量厚度”这一实际物理问题，精准转化为了两大核心数学计算阶段：
- 运用 牛顿迭代法 反演反射率模型；
- 运用 波谷周期关系 进行数值计算。
🚀 结构三：总的解决方法概述
🎯 结构要求：通过什么方法解决什么问题，给出整体方案。
- 📝 原文精准批注：
提出了一种……
【交叉印证的解决路径。】 - 💡 结构解析： 高度提炼了整体方案的设计思路。作者将前面的两种数学计算模型结合起来，通过“交叉印证”的方式确保结果可靠性，形成了一个严谨的解决方案。
📑 摘要的第二、第三段
第二、三段：针对具体问题分别采用什么模型，基于什么原理，通过如何处理，得到什么结论，阐述模型的正确性等；
🏛️ 全局基础：采用什么基础模型
- 📝 原文批注：对于问题二，在基于
【折射率和反射强度公式建立的模型】上…… - 💡 结构解析：点明整个问题二解答的基础底层架构。
由于作者设计了两个并行的求解路线，以下四个结构维度我们将分左右双轨（路线 1 vs 路线 2）进行比对拆解：
🧩 结构一：采用什么具体模型
分别点明解决该问题的具象化数学方法名称。
- 🟠 路线 1：
【周期波谷直接计算法】 - 🔵 路线 2：
【牛顿迭代反演法】
💡 结构二：基于什么原理
阐述支撑上述具体模型的物理/数学理论依据。
- 🟠 路线 1：基于
【反射率表达式给出的理论震荡周期和厚度 d 的关系建立 d 的显式表达式】。 - 🔵 路线 2：以
【已经建立的反射率表达式 Rd 作为依赖厚度 d 参数曲线】为基础。
⚙️ 结构三：通过如何处理
描述对数据或方程进行的实际操作和算法步骤。
- 🟠 路线 1：在反射率曲线上，通过
【样条插值取出准确极值点坐标值】，计算多组厚度并用【统计方法】处理。 - 🔵 路线 2：通过用
【牛顿迭代拟合 Rd 与实验测得的反射率曲线】进行计算。
🎯 结构四：得到什么结论
列出经过处理后得出的具体数值或最终结果。
- 🟠 路线 1 结果：最终厚度计算值为
【7.544μm】。 - 🔵 路线 2 结果：厚度 d 的迭代解为
【7.295μm】。
✅ 结构五：阐述模型的正确性
说明为何该结论或模型是可靠的。
- 📝 原文批注：……7.295μm 作为直接计算值 7.544μm 的
【较好印证值】。 - 💡 结构解析：作者巧妙地利用双路线的结果对比，将路线二的结果作为路线一结果的“印证”。通过两种截然不同的数学原理得出高度相近的结论（交叉印证），从而强有力地阐明并证明了其整个大模型的正确性与稳定性。
💡写摘要的注意点
摘要写作注意事项
- 短、精、完整：保持结构紧凑，写满一页。
- 语言凝练：行文逻辑清晰，严禁拖沓。
- 独立自明：具备独立性，让人一目了然。
- 规范符号：不用图表和非公知公用符号，严禁引用图、表、公式和参考文献序号。
- 反复校对：摘要务必在正文完成后提炼撰写，并至少核对三遍，确保与正文完全一致。
摘要一般都是在文章的其他部分写好后提炼出来的。
问题重述
- 组成部分：问题背景（来源、动机、范围） + 问题描述（用自己的语言对原题进行提炼和重新表述）。
- 核心技巧：想象自己在不看原资料的情况下，向他人复述这道题目是什么，这种直观表达就是最好的问题重述。
问题分析
- 核心定位：模型建立的前奏。
- 写作要点：就是写怎么明确问题，怎么思考想到该问题的解决方案的（适用的基本模型），叙述解决该问题的大体思路，中间需要叙述主要每步思路产生的来源、依据和合理性等。利用“常识”和“逻辑推理”去一步一步分解问题、梳理出解决各主要问题的思路，为接下来的模型建立奠定基础和基本方向。
模型假设
模型假设是连接实际问题与数学世界的桥梁，直接决定了模型的好坏。
模型假设的注意点：
💡 假设编写准则
- 简明扼要：准确清楚，切忌冗长复杂。
- 合理适度：带来的误差必须在实际问题允许的范围内。
- 数量适中：一般 3 ~ 5 条 为宜，避免给阅卷老师带来记忆负担。
- 数学化与逻辑性：假设要数学化，重视逻辑性要求。
- 避免假设太多、太复杂：切记假设太多、太复杂。
- 切合题意：关键性假设绝不能缺失。 ！
📑 优秀假设论文回顾
2025高教社杯A题优秀论文假设部分
- 将导弹、无人机、烟幕弹、烟幕云团中心以及假目标均视为质点进行运动学分析。
- 不考虑空气阻力、风速等环境因素对无人机和导弹飞行的影响。
- 烟幕云团形成后，球心在垂直方向以 $3\text{ m}\cdot\text{s}^{-1}$ 的速度匀速下沉。
- 无人机受领任务和调整飞行姿态的时间忽略不计。
- 烟幕弹起爆瞬时形成一个半径为 10 米的理想球状云团，且在有效时间内（20 秒）其半径和遮蔽能力保持不变。
1. 简明扼要、准确清楚
- 评价等级：⭐⭐⭐⭐ (基本达标)
- 分析：5条假设语言表述通顺，主体概念明确。
2. 假设必须要合理、适度，带来的误差在实际问题中可允许的误差范围
- 评价等级：⭐⭐⭐(存在一定误差风险，需谨慎)
- 分析：
- （第 2 条）：对于高速飞行的导弹而言，导弹飞行速度极快，风速和空气阻力对其弹道轨迹影响显著,但鉴于本问题研究的时间/空间尺度较小且对抗过程短暂，忽略空气阻力与风速产生的误差在系统允许的容忍范围内。
3. 假设太多，阅卷老师记不住。要归结出一些重要的假设，一般 3~5 条
- 评价等级：⭐⭐⭐⭐⭐ (优秀)
- 分析：恰好控制在 5 条，完美契合“一般 3~5 条”的数量要求，既提炼了核心要素，又没有给阅卷老师带来记忆负担。
4. 假设要数学化，重视逻辑性要求
- 评价等级：⭐⭐⭐⭐ (表现良好)
- 分析：
- 第 1 条将实体转化为“质点”，直接赋予了应用牛顿力学/运动学方程的严密数学基础。
- 第 3 和第 5 条给出了清晰的定量参数（$3\text{ m}\cdot\text{s}^{-1}$、半径 10 米、20 秒），具备较强的数学化特征。
5. 切记假设太多、太复杂！
- 评价等级：⭐⭐⭐⭐⭐ (优秀)
- 分析：每条假设均是一句话切中要害，结构干净利落，没有出现嵌套多层条件的冗长子假设，完全符合精简原则。
6. 关键性假设不能缺；假设要切合题意
- 评价等级：⭐⭐⭐⭐ (切题但有隐患)
- 分析：质点化、云团下沉、起爆瞬时成球等关键建模要素全部覆盖，高度切合拦截与遮蔽对抗类题意。然而，由于第 2 条对环境阻力的过度简化，削弱了模型的物理真实性。
符号说明
建议采用规范的三线表格呈现全文符号，做到清晰直观： | 符号 | 含义 | 单位 | | :— | :— | :— | | $P_{m,i}(t)$ | 导弹 $i$ 在时刻 $t$ 的位置向量 | $\text{m}$ | | $v_{m,i}$ | 导弹 $i$ 的速度向量 | $\text{m}/\text{s}$ | | $v_{m}$ | 导弹速度大小 | $\text{m}/\text{s}$ | | $P_{fy,j}(t)$ | 无人机 $j$ 在时刻 $t$ 的位置向量 | $\text{m}$ | | $v_{fy,j}$ | 无人机 $j$ 的速度向量 | $\text{m}/\text{s}$ |
建立模型与求解
- 展现思路：重点展现建模思想与创新点，分析是否切中问题解决的关键。用语客观恰当，不卑不亢。
- 模型表达：做到完整、正确、简明。涉及数学命题时需符合规范且论证严密。
- 求解说明：清晰说明算法原理、依据与计算步骤；若采用现有软件，应注明理由及软件名称。
- 结果精简：中间计算过程可要可不要的切勿冗余列出，只需给出合理的最终数值结果。
数学建模中的创新路径指南
核心原则 适度创新，切合题意，严禁盲目标新立异。
模型创新维度解析
1. 建模层面的创新
- 模型构建：设计具备独创性或针对性的数学模型，能够更精准地刻画实际系统的本质特征。
- 模型简化：提出巧妙、合理的简化方法与核心策略，在保证精度的同时大幅降低求解难度。
2. 求解层面的创新
- 算法设计：构造计算效率高、收敛性好的优化算法。
- 方法革新：引入不同于传统常规手段的新方法、新工具，实现对复杂问题的高效求解。
核心注意事项
- 务实为主：建模过程鼓励创新，但必须立足于题目实际。
- 切忌偏离：切勿为了追求形式上的“新颖”而脱离题目主旨，导致过度复杂化或流于形式。但要切实，不要离题搞标新立异。
模型验证
- 正确性优先：最终数值结果的正确性与合理性永远放在第一位。
- 必要检验：对数值或模拟结果进行检验；若发现误差较大或结果不合理，必须分析原因并对模型进行修正和改进。
模型评价与改进
- 客观公正：客观评价模型、求解方法与算法思想。
- 优点充分：充分叙述优点，不谦虚也不夸张。
- 直面缺点：不回避、不讳言模型的局限性。
- 务实推广：阐述模型推广或改进方向时要切实可行，避免生搬硬套晦涩的新数学术语。
敢于讨论的学生，成绩会好。
参考文献
可以采用如下格式进行参考文献的引用：
[1] DeepSeek, DeepSeek-V3.1, 深度求索 (DeepSeek), 2025.09.05-2025.09.07.
[2] 王庆华. 防空火箭烟幕弹干扰 [J]. 光电技术应用, 2008, 23 (6).
[3] 杨甲胜, 耿晓蕾, 顾文慧, 等. 对烟幕遮蔽干扰投放参数的修正分析 [J]. 光电技术应用, 2007, 22 (1).
[4] 顾文慧, 高红杰. 烟幕投放控制分析与设计 [J]. 光电技术应用, 2014, 29 (2).
9. 附录
- 详细数据：详细的辅助结果与数据表格可在此列出（正文中仅保留核心关键数据）。
- 程序架构：算法设计的流程图。
- 核心代码：主要的计算机程序代码。
- 数学推导：较长且繁琐的定理证明过程。