灰度图像导数计算

下文介绍各种离散近视之间的差别，并通过对比说明为什么采用现有的灰度梯度计算方式。

导数离散近视

对于函数$f(x)$,计算泰勒展开

\[f(x+h)=f(x)+f^{'}h+\frac{1}{2}f^{''}h^2+O(h^3)\]

所以

\[\begin{eqnarray*} && f(x+h)-f(x)+f^{'}h+\frac{1}{2}f^{''}h^2+O(h^3)\\ \implies&& \frac{f(x+h)-f(x)}{h}=f^{'}+O(h) \end{eqnarray*}\]

同理

\[f(x-h)=f(x)-f^{'}h+\frac{1}{2}f^{''}h^2+O(h^3)\]

所以

\[\frac{f(x)-f(x-h)}{h}=f^{'}+O(h)\]

将$f(x+h)$减去$f(x-h)$可得

\[\begin{eqnarray*} && f(x+h)-f(x-h)=2f^{'}h+O(h^3)\\ \implies&& \frac{f(x+h)-f(x-h)}{2h}=f^{'}+O(h^2) \end{eqnarray*}\]

可知最后一种近似方法比前两种更精确

灰度梯度

令$I$为一张2D灰度图像，$I(X)=I(x,y)$为图像在点$X=(x,y)$处的灰度值。因为$I(X)$为离散函数。为了计算$I(X)$在点$X$处的导数， 需要对导数采用离散近似模型,所以对于灰度函数$I(X)$,灰度导数计算如下

\[\begin{eqnarray*} & \frac{\partial (I)}{\partial (X)}=\left[\begin{matrix} I_x(X),I_y(X) \end{matrix}\right] \\ & I_x(x,y)=0.5*(I(x+1,y)-I(x-1,y)) \\ & I_y(x,y)=0.5*(I(x,y+1)-I(x,y-1)) \end{eqnarray*}\]